COP Klimaanlage: Wirkungsgrad über 100 Prozent erklärt

Die kurze Antwort

Nein, das ist kein Perpetuum mobile. Der Energieerhaltungssatz gilt uneingeschränkt, und die Bilanz geht auf. Die Verwirrung entsteht an einem einzigen Wort: Der COP ist kein Wirkungsgrad. Er ist eine Leistungszahl, und die wird anders gerechnet.

COP steht für Coefficient of Performance, auf Deutsch Leistungszahl. Er teilt die abgegebene Wärme durch den Strom, den das Gerät dafür zieht, und nur durch den Strom. Der weitaus größere Teil der Wärme wird gar nicht erzeugt. Er wird aus der Außenluft geholt und auf ein höheres Temperaturniveau gehoben. Diese Wärme war schon da, sie kostet nichts, und deshalb taucht sie im Nenner nicht auf.

Der COP teilt nicht durch alles, was hineingeht, sondern nur durch den Strom. Beide Ströme zusammen ergeben genau die Wärme, die im Raum ankommt. Nichts entsteht und nichts verschwindet. Der weitaus größere Teil kommt aus der Außenluft, steht aber nicht im Nenner der Kennzahl, und genau daraus entsteht der Eindruck, hier werde Energie vermehrt. Von neun geprüften Ratgeberseiten zeigt keine einzige diese Bilanz als Grafik.

Die Zahlen stammen aus dem Datenblatt eines Wandgeräts im Heizbetrieb, gemessen am Prüfpunkt der DIN EN 14511: 20 Grad im Raum, 7 Grad draußen. 0,88 Kilowatt Strom und 3,12 Kilowatt Wärme aus der Außenluft ergeben zusammen 4,00 Kilowatt im Raum. Geteilt durch den Strom sind das 4,55. Geteilt durch alles, was hineingeht, sind es genau 1,00. Beide Rechnungen sind richtig. Sie beantworten nur verschiedene Fragen.

Kurz gesagt Ein Wirkungsgrad über 100 Prozent wäre tatsächlich unmöglich. Die Zahl auf dem Datenblatt Ihrer Klimaanlage ist aber kein Wirkungsgrad. Wer sie als „400 Prozent“ schreibt, benennt sie falsch. Die Physik dahinter bleibt in Ordnung.

Woher der Verdacht kommt, und warum er berechtigt ist

Der Verdacht entsteht nicht beim Leser. Er entsteht auf den Seiten, die ihn ausräumen sollen. Ein Heizungsfachbetrieb schreibt im ersten Absatz seines Ratgebers: „Wärmepumpen kommen auf einen Wirkungsgrad von weit über 100 Prozent. Das bedeutet, dass Sie mehr Energie erzeugen als sie verbrauchen.“ Der zweite Satz ist nicht ungenau, er ist falsch. Eine Wärmepumpe erzeugt keine Energie. Sie verschiebt Energie.

Ein großer Hersteller formuliert kaum vorsichtiger: „Der Wirkungsgrad von Wärmepumpen liegt weit über 100 Prozent. Je nach System sind etwa 300 bis 500 Prozent möglich.“ Und die Herstellerseite, die für die Suche nach „COP Klimaanlage“ ganz oben steht, bezeichnet den COP wörtlich als „Wirkungsgrad der Klimaanlage“. Ausgerechnet dort entsteht das Missverständnis, um das es hier geht.

Auf derselben Suchergebnisseite steht ein Lexikoneintrag aus einem Fachportal für das Heizungshandwerk: „Maschinen mit Wirkungsgraden größer oder gleich 100 % werden auch als ‚Perpetuum Mobile‘ bezeichnet. Solche Maschinen können aufgrund von fundamentalen Überlegungen (Energiesatz, Hauptsätze der Thermodynamik) nicht existieren.“

Der verbreitete Irrtum Beide Aussagen stehen gleichzeitig auf Seite eins der Suchergebnisse, und beide sind für sich genommen nachvollziehbar. Sie meinen nur zwei verschiedene Größen. Aufgelöst wird der Widerspruch auf keiner der beiden Seiten. Wer beide öffnet, hat danach weniger verstanden als vorher.

Wie hartnäckig die Frage ist, zeigen die Foren. In einem Frageportal rechnet jemand an seinem eigenen Typenschild nach: 950 Watt Verbrauch, 2.200 Watt Kühlleistung, macht gut 2,3. Und er fragt, ob der Wirkungsgrad größer als 1 sein könne. In einer Physik-Newsgroup steht dieselbe Frage seit 2007: 6,9 Kilowatt Kühlleistung bei 3 Kilowatt Stromaufnahme, wo der Denkfehler liege. Beide Beiträge ranken bis heute, weil keine Ratgeberseite den Platz beansprucht hat.

Wirkungsgrad und Leistungszahl sind zwei verschiedene Brüche

Ein Wirkungsgrad ist Nutzen geteilt durch alles, was hineingeht. Bei einer Gasheizung ist das der Energieinhalt des Gases, bei einem Heizlüfter der Strom. Weil im Nenner der vollständige Energieeinsatz steht, kann das Ergebnis nie größer als 1 werden. Ein Teil geht immer verloren, meist als Abgas- oder Abstrahlverlust.

Eine Leistungszahl ist Nutzen geteilt durch den Antriebsaufwand. Bei einer Klimaanlage oder Wärmepumpe ist das der Strom für den Verdichter. Die Wärme, die aus der Umgebung dazukommt, steht nicht im Nenner. Sie ist auch kein Aufwand, sie ist einfach da. Deshalb darf eine Leistungszahl über 1 liegen, ohne dass irgendein physikalischer Satz verletzt wird. Wenn Sie sich fragen, warum hier ständig von Wärmepumpen die Rede ist: Eine Klimaanlage ist technisch eine Luft-Luft-Wärmepumpe, dieselbe Maschine mit umgeschaltetem Ventil.

Es sind zwei verschiedene Brüche, nicht zwei Meinungen. Der Zähler ist beide Male derselbe. Der Unterschied steckt allein im Nenner: Links steht der gesamte Energieeinsatz, rechts nur der Strom. Die leere Stelle im rechten Nenner ist der ganze Streit um die 400 Prozent. Von neun geprüften Ratgeberseiten grenzen drei die beiden Größen überhaupt ausdrücklich voneinander ab.

Das RP-Energie-Lexikon formuliert die Abgrenzung in einem Satz: „Anders als Wirkungsgrade können Leistungszahlen ohne weiteres deutlich höher als 1 (= 100 %) sein.“ Es ist die einzige der geprüften Quellen ohne Verkaufs- oder Vermittlungsinteresse, und die einzige, die den Unterschied so deutlich benennt.

Für die Sprache heißt das: „400 Prozent Wirkungsgrad“ ist falsch. Richtig wäre „Leistungszahl 4“ oder „COP 4“. Der Fehler ist nicht harmlos, denn er erzeugt genau den Eindruck, den er ausräumen soll. Wer liest, eine Maschine habe 400 Prozent Wirkungsgrad, muss annehmen, dass entweder die Physik oder die Werbung nicht stimmt. Beides ist hier nicht der Fall.

Warum sich das hält Die Fachbegriffe sind seit langem geregelt: DIN EN 14511-1 legt fest, was COP und EER bedeuten, DIN EN 14825 regelt SCOP und SEER. Trotzdem schreiben fünf von neun geprüften Ratgeberseiten an mindestens einer Stelle, Wärme werde „erzeugt“, teils im selben Text, in dem sie zwei Absätze vorher das Gegenteil erklärt haben. Solange das so bleibt, wird die Frage weiter gestellt.

Die Energiebilanz, mit echten Zahlen nachgerechnet

Wie viel die Umgebung beisteuert, lässt sich für jedes Gerät in einer Zeile ausrechnen. Es hängt allein vom COP ab.

Umweltanteil = 1 minus 1 geteilt durch den COP. Bei COP 4 sind das 1 minus 0,25, also 75 Prozent. Bei COP 4,55 sind es 78 Prozent. Bei COP 2 wären es 50 Prozent, und der Strom trüge die andere Hälfte.

Die berühmten 75 Prozent Umweltwärme sind keine Messung, sondern eine Division. Sie ergeben sich zwangsläufig aus COP 4 und aus nichts sonst. Wer ein Gerät mit COP 5 hat, bekommt 80 Prozent der Wärme geschenkt; bei COP 2,5 ist es die Hälfte. Die Zahl beschreibt also nicht die Umwelt, sondern die Güte des Geräts.

Damit lässt sich eine Zahl einordnen, die im Netz häufig auftaucht. Ein Energieberatungsportal schreibt, „die kostenlose Umweltwärme, rund 75 % der gesamten Heizenergie, fließt nicht in den Nenner der Formel ein“. Der Satz ist richtig, und er ist die beste Erklärung, die sich in der Wettbewerbsrecherche gefunden hat. Nur ist die Zahl keine Messung und kein Erfahrungswert. Sie ist das Ergebnis von 1 minus einem Viertel und gilt für ein Gerät mit COP 4, sonst für keines. Belegt wird sie auf der Seite nicht.

Woher die Zahlen stammen Die Wertepaare 4,00 kW bei 0,88 kW (Heizen) und 2,50 kW bei 0,48 kW (Kühlen) stammen aus den technischen Unterlagen einer gängigen Wandgeräte-Baureihe und tauchen in zwei getrennt abgerufenen Dokumenten identisch auf. Die Zuordnung zu einer bestimmten Modellnummer ließ sich nicht zweifelsfrei klären und wird hier deshalb nicht behauptet. Für die Rechnung ist sie ohne Bedeutung. Entscheidend sind die Prüfbedingungen, und die sind eindeutig.

Der Perpetuum-mobile-Test, einmal durchgerechnet

Bis hierher ist gezeigt, dass die Bilanz aufgeht. Damit ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik erledigt, der Energieerhaltungssatz. Es bleibt der Verdacht, den ein Nutzer in einem Elektronikforum 2022 so formuliert hat: Wenn aus einer Kilowattstunde Strom mehr als zwei Kilowattstunden Wärme werden, könnte man dann nicht aus dieser Wärme wieder Strom machen und den Überschuss behalten?

Die Frage ist gut gestellt, und sie lässt sich zu Ende rechnen.

Der Verdacht wird nicht abgewiesen, sondern zu Ende gerechnet. Und dabei beerdigt: Am Ende der Kette steht höchstens 1,00, nie 1,01. Der Grund ist kein Zufall, sondern eine Identität: Die beste denkbare Ausbeute einer Wärmekraftmaschine ist zwischen denselben zwei Temperaturen exakt der Kehrwert der besten denkbaren Leistungszahl. Auf keiner der geprüften Ratgeberseiten steht diese Rechnung.

Dass die Kette bei genau 1,00 endet, ist kein Zufall. Zwischen denselben zwei Temperaturen ist die höchstmögliche Ausbeute einer Wärmekraftmaschine exakt der Kehrwert der höchstmöglichen Leistungszahl einer Wärmepumpe. Das eine ist 1 minus kalte Temperatur geteilt durch warme Temperatur, das andere warme Temperatur geteilt durch die Differenz der beiden. Multipliziert man beide, kommt 1 heraus. In jeder wirklichen Maschine kommt weniger heraus, weil beide Seiten Verluste haben.

Genau das ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Er verbietet nicht, dass Wärme von kalt nach warm fließt. Er verbietet, dass sie das von allein tut. Eine Klimaanlage tut es nicht von allein: Sie wendet Arbeit auf, und diese Arbeit ist der Strom für den Verdichter. Ein Nutzer im selben Forum trennt die beiden Hauptsätze sauberer, als es die geprüften Ratgeberseiten tun. Ein solcher Aufbau „würde zwar nicht gegen den Energieerhaltungssatz, aber immerhin noch gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verstoßen“.

Kurz gesagt Das RP-Energie-Lexikon beschreibt die Rolle des zweiten Hauptsatzes so: Er „begrenzt die erreichbare Leistungszahl einer Wärmepumpe auf den Kehrwert des Carnot-Wirkungsgrads“. Der Hauptsatz wird also nicht ausgehebelt. Er ist es, der die Obergrenze überhaupt erst setzt.

Es gibt sehr wohl eine Obergrenze, sie liegt nur nicht bei 100 Prozent

Wenn die 100-Prozent-Grenze für den COP nicht gilt, liegt die nächste Frage nahe. Gibt es dann überhaupt eine Grenze? Es gibt sie. Sie heißt Carnot-Leistungszahl und hängt ausschließlich von zwei Temperaturen ab: der, aus der die Wärme kommt, und der, auf die sie gebracht werden soll.

Die Formel lautet obere Temperatur geteilt durch die Differenz der beiden Temperaturen. Beide Werte müssen in Kelvin eingesetzt werden, also Grad Celsius plus 273,15. Am Prüfpunkt mit 20 Grad im Raum und 7 Grad draußen sind das 293,15 geteilt durch 13. Das Ergebnis ist 22,5.

Eine Obergrenze gibt es, sie liegt nur nicht bei 1, sondern bei einer Zahl, die von zwei Temperaturen abhängt. Je kälter es draußen wird, desto tiefer rutscht der Deckel. Damit ist nebenbei die Winterfrage beantwortet: Nicht das Gerät wird schlechter, die Aufgabe wird schwerer. Der Abstand zwischen der gestrichelten Linie und dem echten Gerät ist keine Physik, sondern Technik.

Der Deckel sinkt, je kälter es draußen wird. Bei minus 10 Grad liegt er noch bei 9,8. Das ist die Antwort auf die Winterfrage, und sie ist unbequem: Nicht das Gerät wird im Winter schlechter, sondern die Aufgabe wird schwerer. Der Temperaturhub wächst, und mit ihm sinkt, was physikalisch überhaupt möglich ist. Im Betrieb kommt noch etwas dazu, das in keiner Carnot-Formel steht: Bei Frost muss das Außengerät regelmäßig Eis loswerden, und während des Abtauens bricht der COP kurzzeitig ein.

Zwischen der gestrichelten Linie bei 22,5 und dem echten Gerät bei 4,55 liegen fast achtzehn Punkte. Dieser Abstand ist keine Physik, sondern Technik: Reibung im Verdichter, Druckverluste in den Leitungen, begrenzte Flächen an den beiden Wärmetauschern, Strom für die Ventilatoren.

Damit ist eine Zahl geklärt und eine zweite offen. Wie gut ein Gerät die theoretische Grenze ausschöpft, nennt man Gütegrad. Dazu kursieren sehr verschiedene Angaben: „ca. 60 % der theoretischen Obergrenze“ steht in einem Fachlexikon, „40 bis 65 %“ bei einem Anbieter. Rechnet man den Gütegrad des Geräts aus diesem Beitrag aus, kommen 20 Prozent heraus. Das ist kein Widerspruch in der Physik, sondern einer in der Bezugsgröße.

Dieselbe Anlage, dieselbe Messung, zwei völlig verschiedene Prozentzahlen. Deshalb ist jede Angabe wie „Wärmepumpen nutzen 60 Prozent des theoretisch Möglichen“ ohne die zwei Bezugstemperaturen wertlos. Keine der geprüften Quellen schreibt sie dazu. Genau daran liegt es, dass die Zahlen im Netz um den Faktor drei auseinanderlaufen.

Der Unterschied hängt daran, welche zwei Temperaturen man einsetzt. Nimmt man Raumluft und Außenluft, sind es 13 Kelvin Hub und eine Carnot-Leistungszahl von 22,5; das echte Gerät schöpft davon 20 Prozent aus. Nimmt man die Temperaturen, die das Kältemittel tatsächlich durchläuft, wird der Hub deutlich größer. Der Verdampfer muss kälter sein als die Außenluft, sonst fließt keine Wärme hinein, und der Verflüssiger wärmer als die Raumluft, sonst fließt keine hinaus. Mit 2 und 40 Grad ergibt sich eine Carnot-Zahl von 8,2, und dasselbe Gerät schöpft davon 55 Prozent aus.

Eine offene Frage Die beiden Bauteiltemperaturen 2 und 40 Grad sind eine Annahme. Für Luft-Luft-Splitgeräte ließ sich keine Primärquelle finden, die belastbare Verdampfer- und Verflüssigertemperaturen im Nennbetrieb nennt. Die rechte Spalte der Grafik zeigt deshalb die Größenordnung, nicht den Messwert. Belastbar ist die Aussage dahinter: Ohne die zwei Bezugstemperaturen ist jede Gütegrad-Angabe wertlos, und keine der geprüften Quellen schreibt sie dazu.

Beim Kühlen dreht sich die Bilanz um

Alles bisher Gesagte galt dem Heizbetrieb, weil die 400-Prozent-Behauptung von dort kommt. Eine Klimaanlage kühlt aber meistens. Dann heißt die Kennzahl EER, Energy Efficiency Ratio, und sie ist genauso gebaut: Kälteleistung geteilt durch Leistungsaufnahme, wieder nur durch den Strom. Auch der EER darf deshalb über 1 liegen, und aus demselben Grund.

Die Bilanz sieht trotzdem anders aus als beim Heizen, nämlich spiegelbildlich.

Beim Kühlen steht der Strom auf der anderen Seite der Gleichung. Beim Heizen ist er ein Zuschuss zu der Wärme, die von draußen kommt. Beim Kühlen ist er ein Aufschlag auf die Wärme, die nach draußen geht. Das Außengerät wird also mehr los, als drinnen aufgenommen wurde. Auf keiner der geprüften Seiten steht diese Rechnung, obwohl sie dieselbe Bilanz ist wie oben, nur gespiegelt.

Aus dem Zimmer kommen 2,50 Kilowatt, aus der Steckdose 0,48, und beides zusammen muss das Außengerät loswerden: 2,98 Kilowatt. Es gibt also mehr Wärme ab, als drinnen aufgenommen wurde. Das ist der Grund, warum das Außengerät im Betrieb heiß wird. Dort steht dieselbe Bilanz für ein größeres Gerät noch einmal ausführlich.

Der Carnot-Deckel gilt beim Kühlen ebenfalls, nur mit einer anderen Formel: untere Temperatur geteilt durch die Differenz. Am Prüfpunkt mit 27 Grad im Raum und 35 Grad draußen sind das 300,15 geteilt durch 8, also 37,5. Der gemessene EER von 5,20 schöpft davon knapp 14 Prozent aus. Auch diese Prozentzahl hängt daran, welche Temperaturen man einsetzt, und ist ohne sie nicht zu gebrauchen.

Welche Zahl auf Ihrem Datenblatt steht und was sie wert ist

Die Verwirrung hört mit dem Begriff nicht auf. Auf Datenblättern und Energielabeln stehen mehrere Kennzahlen nebeneinander, die alle Effizienz bedeuten und trotzdem verschiedene Dinge messen.

COP. Heizen, ein einziger Betriebspunkt, gemessen nach DIN EN 14511 bei 20 Grad im Raum und 7 Grad draußen. Über den Winter sagt diese Zahl nichts.
EER. Kühlen, ein einziger Betriebspunkt, nach derselben Norm bei 27 Grad im Raum und 35 Grad draußen. Über einen milden Julitag sagt sie nichts.
SCOP und SEER. Dieselben Größen, aber über eine ganze Saison und über mehrere Teillastpunkte gerechnet, nach DIN EN 14825. Näher am Alltag, aber immer noch ein Prüfstandswert in einem genormten Referenzklima. Was das im Einzelnen bedeutet, steht im Beitrag zu SEER und SCOP.
JAZ, die Jahresarbeitszahl. Was Ihre Anlage bei Ihnen tatsächlich geschafft hat. Sie steht in keinem Prospekt, weil sie nur gemessen werden kann.
Eine Prozentzahl über 100. Keine eigene Kennzahl. Das ist ein COP, mit 100 multipliziert und falsch benannt. Aus COP 4 werden so „400 Prozent“.

Kurz gesagt Eine Kennzahl ohne die zwei Temperaturen dahinter ist keine Information. Ein COP von 5,5 bei 12 Grad Außentemperatur und ein COP von 3,8 bei minus 7 Grad können vom selben Gerät stammen. Wer zwei Prospekte vergleicht, muss zuerst prüfen, ob beide denselben Prüfpunkt meinen.

Ein Punkt gehört dazu, den sonst niemand nennt. Für Luft-Luft-Wärmepumpen im deutschen Bestand gibt es keine unabhängige Feldstudie zu tatsächlich erreichten Jahresarbeitszahlen. Der bekannte Feldtest des Fraunhofer ISE misst Luft-Wasser-Geräte. Jede SCOP-Angabe für eine Klimaanlage ist damit ein Prüfstandswert, kein Alltagswert. Wer wissen will, was die eigene Anlage schafft, muss selbst nachmessen.

Und weil die Frage nach der Rechnung sofort kommt: Bei COP 4,55 und 37,0 Cent je Kilowattstunde Haushaltsstrom kostet eine Kilowattstunde Wärme rund 8,1 Cent. Zum Vergleich liegen Gas bei 13,3 und Heizöl bei 16,1 Cent je Kilowattstunde Wärme. Diese 8,1 Cent gelten für den Prüfpunkt bei 7 Grad, nicht für einen Frosttag. Was über eine ganze Heizsaison daraus wird, steht im Beitrag zu den Heizkosten einer Klimaanlage.

Häufige Fragen

Ist der COP dasselbe wie der Wirkungsgrad?

Nein. Ein Wirkungsgrad teilt den Nutzen durch den gesamten Energieeinsatz und kann deshalb nie über 1 liegen. Der COP teilt den Nutzen nur durch den eingesetzten Strom; die Wärme aus der Umgebung steht nicht im Nenner. Beide Zahlen beschreiben dieselbe Anlage, beantworten aber verschiedene Fragen. Wer den COP als Wirkungsgrad bezeichnet, erzeugt genau den Widerspruch, den es in Wirklichkeit nicht gibt.

Wie berechnet man den COP einer Klimaanlage?

Heizleistung geteilt durch elektrische Leistungsaufnahme, beide Werte in Kilowatt und beide aus demselben Betriebspunkt. Aus 4,00 Kilowatt Heizleistung und 0,88 Kilowatt Leistungsaufnahme wird ein COP von 4,55. Wichtig ist, dass die Leistungsaufnahme vollständig ist, also Verdichter und Ventilatoren enthält, und dass die Temperaturen des Prüfpunkts dabeistehen.

Was bedeutet ein Wirkungsgrad von 400 Prozent bei einer Wärmepumpe?

Dass jemand einen COP von 4 mit 100 multipliziert und die Größe falsch benannt hat. Gemeint ist: Aus einer Kilowattstunde Strom werden vier Kilowattstunden Wärme, weil drei davon aus der Umgebung geholt und nicht erzeugt werden. Ein echter Wirkungsgrad derselben Anlage liegt bei 1,00, also 100 Prozent. Die Formulierung ist verbreitet, aber sachlich falsch.

Warum ist eine Wärmepumpe kein Perpetuum mobile?

Weil sie Wärme nicht erzeugt, sondern von draußen nach drinnen verschiebt, und weil sie dafür Strom braucht. Rechnet man den Verdacht zu Ende und lässt die Wärme wieder eine Wärmekraftmaschine antreiben, kommt zwischen denselben zwei Temperaturen höchstens genau so viel Strom zurück, wie hineinging. In jeder wirklichen Maschine kommt weniger zurück. Ein Überschuss ist damit ausgeschlossen.

Gibt es eine Obergrenze für den COP?

Ja, die Carnot-Leistungszahl. Sie ist die obere Temperatur geteilt durch die Differenz der beiden Temperaturen, beide in Kelvin. Bei 20 Grad im Raum und 7 Grad draußen sind das 22,5, bei minus 10 Grad draußen nur noch 9,8. Kein Gerät kann darüber liegen. Reale Splitgeräte erreichen davon je nach Rechenweise 20 bis 55 Prozent.

Welcher COP-Wert ist bei einer Klimaanlage gut?

Für den Heizbetrieb von Luft-Luft-Geräten nennt der Fachverband Gebäude-Klima SCOP-Werte von 4,0 bis 5,0 als typisch. Die in Ratgebern kursierenden Schwellen wie „ab 3,5 gut, ab 4,5 sehr gut“ stehen dort ohne Quelle. Wichtiger als die Höhe ist die Vergleichbarkeit: Zwei Werte lassen sich nur gegeneinanderhalten, wenn sie denselben Prüfpunkt und dieselbe Norm haben.

Wer das geschrieben hat

Oliver Takens

Entwickelt KlimaCraft, eine Branchensoftware für Kälte- und Klimatechnik, und sieht dort täglich, woran Aufträge in der Praxis hängen. Schreibt hier für Leute, die keine Kältetechniker sind und auch keine werden wollen.

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Und was schafft Ihre Anlage wirklich?

Der COP aus dem Prospekt gilt für einen einzigen Prüfpunkt. Wie man den Wert der eigenen Anlage mit einfachen Mitteln nachmisst.

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